ランダウ=リフシッツ『力学』を少しづつ読む
6日目
§6:エネルギー
自由度sの孤立系の運動では、時間によらず一定値を保ち続ける量が2s-1個存在する。これを運動の積分という。
運動の積分のうち、いくつかのものは時空間の対称性に強く結びついている。これらはラグランジアンの加法性に由来する加法性を持つため、相互作用をする多体系の運動の解析において、重要な地位を占めている。
例えば、時間の一様性に関して言えば、エネルギーと呼ばれる量が保存することがすぐに分かる。エネルギーEはE=qp-Lであり(縮約とってる)、L=T-Uであったことを思い出すとオイラーの同次関数定理よりE=T+Uである。
エネルギーはどういう訳かふたつの本質的に異なる量の和になっている。
感想
運動の積分、現代的には保存量ですね。
任意定数のうちひとつを時間の付加定数に選ぶことはいつでも可能というのは、系が時間に依らない(時間原点をずらしても良い)ことに由来しています。この時間原点の不定性が積分定数のどれかひとつになるわけですね。するとあとは方程式の数から変形して、運動の積分が2s-1個あることが確かめられるわけです。
時間があれば補足します。
ただ、このやり方ではそれが加法性を持つ（都合の良い）ものかわからないです。ここからの議論は、確実に加法性を持つ、とラグランジアンの性質から言えるものを取り上げるわけですね。そして、そのような量は対称性に強く結びついているわけです。