境田太樹『流体力学: 「流れ」を方程式で表すとは』前半の個人的まとめ

論理展開

1.流体の運動を数式で表す

隙間なく空間中を占有し、決まった形を持たず、力を加えると容易に変形する気体や液体をまとめて｢流体｣と呼ぶ。流体力学はこの運動を扱う学問である。

流体の運動方程式の導出は、流体を｢流体粒子｣と呼ばれる微小部分に分割し、そのそれぞれにニュートンの運動方程式を適用することで行う。

ここで、以下の三つの点に注意が必要である。

a,流体の運動の追跡は、全ての流体粒子を区別し、そのそれぞれの運動を追跡することで行う。

b,流体粒子間の相互作用を応力と呼び、外力と区別して運動方程式に明記する。

c,流体粒子の質量は保存する。

すなわち、 ${\bf J}$ を応力、 ${\bf K}$ を外力として、

$M\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf J}+{\bf K}$

が基本形となる。

以上の3つの点は、以降で詳しく議論する。

2.オイラーとラグランジュの関係

前章で述べた、流体を無数の流体粒子に分割し、それを追跡することで解析する方法をラグランジュ的方法と呼ぶ。

一方で、空間の各点における流体の物理量を調べる見方をオイラー的方法と呼ぶ。オイラー的方法では流体粒子は出てこない。

2つの方法では、独立変数が異なる。オイラー的方法では、各点各瞬間の物理量を調べるので、独立変数は $(x,y,z,t)$ となる。一方、ラグランジュ的方法では、流体粒子の区別のため、その初期位置を指定し、それに乗って物理量を調べる。ある流体粒子が持っている物理量が時間的にどう変化するかを見るわけである。すなわち、独立変数は $(x_0,y_0,z_0,t)$ となる。ここで、 $x_0,y_0,z_0$ は初期位置を表す。

さてここで、流体粒子の考え方は便利だが、初期位置を独立変数にするのは不便すぎる。そのため我々は、慣用的に｢流体粒子は使うし、それに乗って物理量を調べるが、独立変数は $(x,y,z,t)$ ｣というハイブリッドスタンスをとる。

流体粒子は移動しているため、ある流体粒子の持っている物理量Aの変化 $\frac {dA}{dt}$ を $(x,y,z,t)$ を変数にとって表すと、この移動による変化も勘定に入れなければならず、

$\frac {dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+u\frac{\partial A}{\partial x}+v\frac{\partial A}{\partial y}+w\frac{\partial A}{\partial z}$

となる。 $(u,v,w)$ は考えている流体粒子の速度である。これをラグランジュ微分などと呼ぶ。

なお、右辺の後半3項を移流項と呼び

$u\frac{\partial A}{\partial x}+v\frac{\partial A}{\partial y}+w\frac{\partial A}{\partial z}=({\bf v} \cdot \nabla)A$

などと書くことがある。

3.連続の式

第1章cの内容を考えよう。流体粒子の質量が変化しないということは、

$\frac {dM}{dt}=0$

が成り立つということである。ここで、流体の密度を $\rho$ として、 $M=\rho \delta V$ を代入して変形すると、

$\frac {d \rho}{dt}+\rho \nabla \cdot {\bf v}=0$

となる。これを連続の式と呼び、質量保存則に相当する。

これより、運動中密度変化がない｢非圧縮流体｣では、連続の式は $\frac {d \rho}{dt}=0$ より、

$\nabla \cdot {\bf v}=0$

となる。

なお、ラグランジュ微分を開くと連続の式は

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho {\bf v})=0$

ともかける。

4.オイラーの運動方程式

第1章aの内容を踏まえ、運動方程式を導出しよう。

応力には、面に対して垂直な法線応力と平行な接線応力がある。また、流体粒子にかかっている応力は、その合力を考える。すなわち、隣の流体粒子から力を受けていても、その合力が0であれば応力0と考える。

接線応力が0となるような理想的な流体を｢完全流体｣と呼び、これは流体の粘性を無視することに等しい。

以下、しばらく完全流体を考える。

法線応力 ${\bf J}$ は、圧力の勾配 $\nabla p$ に等しいことが簡単に示される。これより、流体の運動方程式は単位体積あたりに変更して、

$\rho \frac {d {\bf v}}{dt}=-\nabla p+{\bf K}$

となる。ここで、 ${\bf K}$ は単位体積あたりに働く外力である。この式を｢オイラーの運動方程式｣と呼ぶ。

さて、流体の運動を完全に解析するとは、何が分かることだろうか。ひとつは各流体粒子の位置 ${\bf x}$ である。初期状態がわかると仮定すると、これは各流体粒子の速度 ${\bf v}$ がわかれば積分することで求められる。他には、密度や圧力、エントロピーや温度などの量が必要である。しかしながら、熱力学からこれらの量は2つがわかれば残りも求まることが知られている。よって、 $\rho,p$ の都合2種類の量がわかれば良い。