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田島一郎 近藤次郎共編『改訂 工科の数学④ 複素関数』の個人的まとめ

(せーびちゅー)

1,複素平面

複素平面の諸性質やR^2との対応を学ぶ。境界点や連結の概念に注意。複素平面に原点で接するような(0,0,1/2)中心直径1の球面Rと有限複素平面Cに無限遠点を加えた広義複素平面との1対1対応を考えることができ、この球面を複素球面ないしリーマン球面という。 原点から距離がある正の実数Rよりおおきな複素数の集合をR近傍といい、様々なRに対応する近傍を総称して∞の近傍と呼ぶ。数列の発散の定義に用いられる。

 

2,微分

複素関数の収束や連続性については実関数とほぼ同じである。複素平面では、「近づき方」が何通りもあることに注意。(実際には近傍で定義するからあまり問題は無い)

一方で、微分可能性の方は大きく異なり、複素関数がコーシーリーマンの関係式を満たすことが条件。ある領域内で微分可能な時、正則という。