(整備中)
論理展開
第6章
ラグランジアンを変形して、変数をqとpをとる。これはハミルトニアンと呼ばれ、時間並進対称性があるときは、エネルギーと同じである。量子力学では、定義できない位置の微分より運動量の方が本質的である。
ハミルトニアンをqとpで微分するとハミルトンの運動方程式なるEL方程式と等価である連立方程式が得られる。EL方程式との違いは、ハミルトンの運動方程式は｢1階の連立微分方程式｣という点である。
ハミルトニアンの時間全微分は時間偏微分に等しく、ラグランジアンの時間偏微分のマイナスである。これはエネルギー保存則と結びついている。
また、Hの全微分とpq(dot)-Lの全微分の係数を比較することで上の関係式は全て導くことができる。
ルジャンドル変換なる変換を使うと、ハミルトニアンはラグランジアンをルジャンドル変換したものと理解できる。ルジャンドル変換は変数変換の手法であり、対称な式をゲットできるので、ハミルトンの運動方程式を入手するため使用するのだと考えられる。
また、作用の変分を考えてもハミルトンの運動方程式を入手できる。
N自由度系に対してqとpからなる2N次元空間、位相空間を考える。系の運動の様子はこの空間上での曲線で表される。この曲線の接ベクトルはハミルトニアンの流れで与えられる。また、これよりハミルトニアンが時間に陽に依存しない時、曲線は交わらないこともわかるだろう。例として、調和振動子は楕円曲線を描く。なお、（勘違いされがちだが、）曲線の決定には初期エネルギーのみでなく、複数個の初期条件が必要である。
ポアソン括弧という演算を定義しよう。ポアソン括弧を使うと、様々な性質が得られる。定理については本文参照。
読中の感想
第6章
む、ルジャンドル変換は登場しないんですね。量子力学をちょっとだけ勉強してやったからわかるけど、位置の微分なんてものは定義できないんですね。だから運動量と。
ハミルトンの連立方程式は連立1階微分方程式にしたって点がEL方程式が異なりますねー。
ハミルトニアンの時間微分の話まじ何がしたいかわからんなぁ。特にラグランジアン偏微分のマイナス倍だよってのはハテナ。ハミルトニアンの方はエネルギー保存則なんでしょうけど。
あ、なるほど。全微分の係数比較で3つの関係式が出るからt偏微分について記述してあったんですかね。こっちのがエレガントで好きです。
あ、ここでルジャンドル変換が出てくるんですね。でも何のためにやってるかとかが見えずらい…？シンプルに変数を変えて、対称な式がゲットできるって感じかな？
運動方程式の導出法が多すぎです！変分は正統って感じがして好きです。式変形が難しい！！！！
位相空間（フェイズスペース）とハミルトニアンフローですね。多様体と結びついていることは分かります。初めて見た時は感動した発想でした。（半年前）これも量子力学への応用が大事ですね。前野では運動を神の視点から俯瞰するとありましたが、実際はこれを使って問題を解析することはあるんでしょうかね？力学系？
ポアソン括弧式は量子力学の交換関係ですね。やってることは定義してぶち込むだけなんで、慣れですね。便利さが見えないです。
感想
