フーリエ解析をお勉強したよって話

色々参考にしたのでそれぞれ記事書くよりかは1本に纏めたいなって

フーリエ解析

フーリエ級数展開

三角関数をベクトルと見る時、その内積は0であり、直交するといえる。また、ノルムは√π。これを利用して周期関数を三角関数の無限個の線型和で表そうと言うのがフーリエ級数展開の考え方である。

フーリエ級数展開できると仮定すると、係数が1/π∫[-π,π]f(x)cosx dxで与えられる。(もしくはsin) これは対偶を取れば分かるが、必要条件であり、

フーリエ級数展開可能であるとは｢全ての係数が存在し(⇔f(x)がリーマン積分可能で)、その無限和が収束し、そしてそれがf(x)と一致する｣ことを言う。

フーリエ展開はテイラー展開と比較することで威力がわかる。テイラー展開可能なためにはf(x)がC∞級であることが必要だった。これは非常に強い条件である一方で、フーリエ級数展開はかなり多くの関数に適応できる。(このとき、どの関数なら適応できるかを考えるのがフーリエ級数問題である。)

一般に、区分的連続かつ区分的に滑らかなとき、関数はフーリエ級数展開可能である。不連続点では、その右極限と左極限の平均値に収束していく。

また、周期関数にしか適応できない問題は、フーリエ変換を考えることにより克服される。

複素フーリエ級数

フーリエ級数展開はフーリエ余弦係数とフーリエ正弦級数に別れていたが、これを複素関数の力を借りることで一本にまとめることが出来る。Cn=(an-ibn)/2、C-nをその共役複素数とおくことで、e^inxの無限個の線型和で表現できるようになる。

このとき、係数Cnは

1/2π∫f(x)e^inx dxとすぐに分かる。

これによって式が一本化されて議論しやすくなった。

フーリエ変換

これまでは周期２πの周期関数のみを考えていたが、x→2πx/Lと置換することで任意の周期へと拡張できる。さらに、L→∞として、区分求積法の力を借りることで、フーリエ級数展開はフーリエ変換になる。フーリエ変換はフーリエ逆変換と1対1に対応する。その証明には複素積分を用いる。フーリエ変換はふたつの世界をまたぐトンネルと思うと良い。(元の関数の世界と波数の世界)

フーリエ変換の応用

デルタ関数はフーリエ変換すると定数。デルタ関数をsinx/xなるsinc関数の極限と見ると、デルタ関数のフーリエ変換が分かり、任意の関数をデルタ関数との積で表現することで、フーリエ変換の式を得ることも出来る。

また、ある種類の微分方程式を解く際にもフーリエ変換は有用である。とくに、デルタ関数を使ってグリーン関数を導出するタイプの微分方程式では、フーリエ変換して係数を比べることで解を求めることが出来る。

フーリエ変換の物理

フーリエ変換は関数の波数を求める操作であった。これは、量子力学で言うところの位置空間と運動量空間の入れ替えに等しい。波動関数をフーリエ変換したものは、運動量の確率密度を表す。

世界を入れ替えよう！